MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

CONCEPTO

Es aquel movimiento oscilatorio y periódico, realizado en línea recta ocasionado por una fuerza recuperadora, el cual es descrito de forma matemática mediante funciones seno y coseno.

Fuerza Recuperadora (F)

Es aquella fuerza interna que manifiestan los cuerpos elásticos al estirarlos o comprimirlos, actuando sobre la partícula “m” de tal forma que recupere su posición de equilibrio.

La fuerza recuperadora viene a ser la tensión o comprensión de los resortes, el cual se representa por un vector F que actúa sobre la partícula, indicando siempre la posición de equilibrio.

Ley de Hooke:

K: Constante de rigidez del resorte (N/M)

Elongación (X)

Es una magnitud vectorial e indica la posición de la partícula o cuerpo “m” en cada instante de tiempo “t” respecto de la posición de equilibrio (P.E.)

 

Amplitud (A)

Es la máxima elongación alcanzada por una partícula en movimiento.

La partícula inicia sus movimientos en (t=0) cuando X=A y se cumple que:

x(t) = A . Cos(ωt)

Relación entre el Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) y el Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)

Si una partícula se desplaza con un M.C.U. entonces sus proyecciones sobre su diámetro cumplen con los requisitos del M.A.S.

Donde X es la proyección del radio A sobre el eje horizontal.

El ángulo “θ”, es el desplazamiento angular que experimenta la partícula con un M.C.U, θ=ω.t

X(t) = A. Cos θ

X(t) = A. Cos (ω.t)

PERIODO DE LA PARTÍCULA “m”

Analizamos la partícula de masa “m” dinámicamente, y realizamos el diagrama del cuerpo libre en un instante determinado “t”.

Por la segunda ley de Newton:

FR=m.a

K.X = m(ω2.X)

K = m.ω2

Despejando ω y elevando la raíz a ambos miembros

Reemplazando valores, obtenemos

VELOCIDAD INSTANTÁNEA

Viene a ser la proyección de la velocidad tangencial sobre el eje horizontal. La velocidad (V) en el M.C.U. es V=ωA

V(t) = Vsenθ

V(t) = ωA.Sen(ωt)

ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

Es la proyección de la aceleración centrípeta sobre el eje horizontal.

La aceleración centrípeta en el M.C.U., es ω2.A

a(t) = ac . Cosθ

a(t) = ω2 . A. Cos(ωt)

Reemplazando valores

a(t) = ω2 . X

ASOCIACIÓN DE RESORTES

Los resortes unidos a masas se pueden conectar, de dos formas básicas: en serie y en paralelo.

El conjunto de resortes puede ser sustituido por un solo resorte equivalente y cuya constante de rigidez se denomina constante equivalente (Ke)

ASOCIACIÓN EN SERIE

En el gráfico se puede ver que la tensión que soportan los resortes son iguales (T = KX)

En el caso del desplazamiento Xe equivalente, es igual a la suma de los desplazamientos de los resortes.

 

Xe = X1 + X2 + X3

* En el caso particular de la asociación de resortes en serie:

ASOCIACIÓN EN PARALELO

En todos los resortes la deformación X son igual.

La tensión equivalente (Te) se representa por:

Te = T1 + T2 + T3

La tensión en cada resorte es:

T1 = K1.X   ;   T2 = K2.X   ;    T3 = K3.X

→ Ke = K1 + K2 + K3

ENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA

Una partícula de masa “m” inicia su movimiento en el instante t=0, cuando la elongación es igual a la amplitud (x = A). La fuerza recuperadora F que actúa sobre la partícula “m” varía con la distancia como muestra la figura.

La energía total del sistema masa-resorte es igual al área bajo la recta que se muestra en la figura.

ETotal = Área

Si:

ETotal = EC + Ep

Donde V es la velocidad de la partícula “m” en el instante en el que “t” se encuentra a la distancia X de la posición de equilibrio.

PÉNDULO SIMPLE

CONCEPTO

Es aquel sistema constituido por una masa “m” de pequeña dimensión suspendida de un hilo no extendible y de peso despreciable, que puede oscilar alrededor de su posición de equilibrio, con un movimiento que es aproximadamente un M.A.S.

Para poder identificar la causa de las oscilaciones, se realiza el diagrama de cuerpo libre de la masa pendular “m”. Así se identifica, la fuerza recuperadora en una componente del peso(mg) que es tangente a la circunferencia.

F = m.g. Sen θ

Se sabe de la Segunda Ley de Newton que:

F=m.a

→ m.g.Sen θ = m.ω2.x

Para amplitudes pequeñas se cumple (θ en radianes)

x = θ.L = Sen θ.L

Reemplazando valores:

g. Senθ = ω2.Senθ.L

En tanto que:

Ejercicios ilustrativos

1.- Una caja de masa “M” se encuentra sobre una mesa horizontal; además el coeficiente de rozamiento entre la caja y la mesa es igual µ. Dentro de la caja reposa un cuerpo de masa “m” que puede moverse sin rozamiento sobre el fondo de la caja. Este cuerpo está sujeto a la pared dentro de la caja como se muestra en la figura por medio de un resorte cuya rigidez es K. ¿Con qué amplitud de las oscilaciones del cuerpo comenzará la caja a moverse sobre la mesa?

Solución

La fuerza F máxima que el resorte aplica sobre la caja es:

F=K.A

Cuando el resorte está a punto de moverse, entonces se indica lo siguiente:

∑ Fx=0

F = fs(max)

F = µ. N;

Pero considerando al sistema en su conjunto: N=(m+M)g

K.A. = µ(M+m)g

2.- El período de vibración del sistema mostrado es 0,3 segundos. Si se saca el bloque A, el nuevo período es 0,6 segundos. Sabiendo que la masa del bloque A es 22,5Kg, determinar la masa del bloque B. Considerar que no hay rozamiento.

Solución

Cabe destacar que el período de oscilación depende únicamente de la masa del sistema, y la constante de rigidez depende del material y de la forma del resorte.

- Siendo que:

- También se da el caso que:

Dividiendo ambos resultados y simplificando valores nos queda:

Reemplazando mA=22,5Kg